Сияющий додекаэдр
Правильные многогранники
В математике и науке всегда стараются сначала досконально изучить самые простые объекты, а потом эти знания и опыт используют при исследовании сложных. Так, благодаря физике мы знаем, что все твёрдые, жидкие и газообразные вещества состоят из атомов, и всё, что мы узнаем про атомы, пригодится нам при изучении таких веществ и объектов.
В теории чисел всё начинается с единицы, и её свойства очевидны, исследовать нечего. Зато интересны Простые числа – их много, и они не раскладываются на множители, но их перемножением можно получить все остальные – это напоминает молекулы, состоящие из атомов.
В геометрии простейшие объекты – точка, прямая, плоскость и окружность/круг. Они максимально симметричны и подобны единице среди чисел. Причём и точку, и прямую можно считать разновидностями окружности – с нулевым и с бесконечным диаметром. Из более сложных объектов на плоскости самыми симметричными являются правильные многоугольники – равносторонний треугольник, квадрат и т. д. Их бесконечное количество.
Рис. 1. Правильные 3, 4, 5 - угольники.
Когда мы от плоскости переходим в объём, к трёхмерному пространству, то к простейшим объектам добавляется сфера/шар. А трёхмерными аналогами многоугольников являются многогранники. Но оказалось, что их существует всего пять (в Евклидовом пространстве, которое имеет нулевую кривизну). Первое доказательство этого факта приписывают Теэтету Афинскому (417—369 год до н. э.) [2].
Убедиться в этом очень просто – достаточно взять несколько треугольников и соединить их в одной вершине ребром к ребру, с одинаковыми углами. Два треугольника образовать объёмную фигуру без изгибов не могут. Три, четыре и пять треугольников дадут нам три разных многогранника (тетраэдр, октаэдр и икосаэдр), а шесть уже образуют плоский шестиугольник, поэтому большее число брать смысла нет. Из квадратов мы можем так составить только куб. А из правильных пятиугольников – завершающий додекаэдр.
Рис. 2. Все пять правильных многогранников: тетраэдр (4 грани), октаэдр (8 граней), куб/гексаэдр (6 граней), додекаэдр (12 граней), икосаэдр (20 граней).
Партнёром додекаэдра (или его дуальной фигурой) является икосаэдр, так как именно он получается, если соединить рёбрами центры каждой его грани. И наоборот, если соединить все центры граней икосаэдра, получим снова додекаэдр. Если у додекаэдра в каждой вершине соединяются три пятиугольных грани, то в икосаэдре – пять треугольных граней.
Рис. 3. Дуальные фигуры: додекаэдр (оранжевый) и икосаэдр (синий).
Кроме того, в додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра. Таких вариантов вписывания куба насчитывается пять [3]. В додекаэдр можно также вписать 10 тетраэдров [3], с естественным разделением их на два противоположных набора по пять штук.
Рис. 4. Анимация: пять способов вписывания тетраэдр в додекаэдр, т. е. пять способов выбора четырёх вершин додекаэдра, которые будут образовывать тетраэдр. Многогранник, получившийся объединением этих пяти тетраэдров, является также звёздной формой икосаэдра и впервые описан немецким математиком Эдмундом Хессом в 1876 году.
Рис. 5. Анимация: соединение всех десяти вписанных тетраэдров.
Платоновы тела и сакральная геометрия
Правильные многогранники обсуждаются в одном из важнейших трактатов Платона под названием «Тимей» [3], поэтому их называют Платоновыми телами. Среди прочего, в этом трактате-диалоге Тимей, главное действующее лицо, сопоставляет правильные многогранники каждой из четырёх основных стихий/первоэлементов физической Вселенной. Землю – кубу (гексаэдру), воду – икосаэдру, огонь – тетраэдру, воздух – октаэдру.
Рис. 6. Пять многогранников = пять стихий.
А про пятый многогранник Тимей сказал, что Бог использовал его в качестве формы (очертаний/чертежа) Вселенной. Возможно, одной из причин является то, что он самый округлый из всех Платоновых тел, заключая в себе наибольший объём при том же радиусе. То есть, он ближе других к сфере (66,49% объёма сферы [4]), а сфера считается самой совершенной формой.
В другом трактате-диалоге Платона под названием «Федон» [5], где описаны последние часы жизни Сократа и его беседы о бессмертии души, Сократ пересказывал миф о том, что находится на Земле под самыми небесами: «Земля, если взглянуть на неё сверху, похожа на мяч, сшитый из двенадцати кусков кожи и пёстро расписанный разными цветами».
Пифагорейцы были теми, кто ещё до Платона к четырём известным правильным многогранникам добавили пятый – додекаэдр. А пентаграмму (пятиконечную звезду, содержащуюся в гранях додекаэдра) использовали в качестве отличительного знака принадлежности к их сообществу. Возможно, именно от них Платону перешло мнение о том, что «сфера Вселенной» возникла из додекаэдра. Многие свои знания они считали необходимым держать в тайне. Но однажды Гиппас (живший около 500 г. до н.э.), один из пифагорейцев, разгласил способ построения додекаэдра, начертив шар, покрытый двенадцатью равными пятиугольниками. Возможно, его утопили за это (за непочтительность [6]).
Аристотель, другой знаменитый древнегреческий философ, постулировал [7], что небеса сделаны из пятого элемента/стихии (квинтэссенции), который он назвал эфиром.
Таким образом, ещё с древних времён додекаэдр считался священной фигурой. Он относится к сакральной геометрии – учению о формах и пропорциях с предположением о том, что они лежат в основе устройства Вселенной. В таком мировоззрении геометрические формы являются энергетическими кодами и ключами к пониманию бытия, взаимосвязи всего сущего. Их используют для самопознания и гармонизации внутреннего и внешнего пространства.
Додекаэдр вместе с другими Платоновыми телами обнаруживается в Цветке Жизни и Кубе Метатрона – двух из наиболее значимых форм сакральной геометрии.
Рис. 7. Додекаэдр в Цветке Жизни и Кубе Метатрона.
Додекаэдр, как и икосаэдр содержит в себе золотую пропорцию ϕ=1.618033… (с XVI века называемую божественной благодаря множеству удивительных свойств). При подходящем выборе размеров икосаэдра координаты его вершин будут содержать числа 0, ±1, ±ϕ. А для додекаэдра – числа 0, ±1, ±ϕ, ±1/ϕ [8]. При этом пятиугольные грани додекаэдра ещё и сами по себе содержат золотую пропорцию, в чём можно убедиться, дорисовав диагонали.
Рис. 8. Додекаэдр и три плоскости, перпендикулярных друг другу.
В Агни-йоге – Учении Живой Этики, основанной Николаем и Еленой Рерихами, сияющий додекаэдр называется знаком мощи Матери Мира (Великого Духа Женского Начала). Например, в книге [9] описывается видение Матери Мира в ночь на 18 июля 1924 года, где она приняла форму женской фигуры в сверкающих белых одеждах. Затем «внезапно серебро одежд рассыпалось на многоцветные искры, которые также быстро вновь собрались в серебро и гармонию магнетических движений – в радужную спиральную звезду – Додекаэдрон, необычайной красоты и образующей почти круг на ослепительном серебряном поле. Звезда эта искрилась, вибрировала и казалась живой».
Додекаэдры в природе
Если кристаллы в форме куба (поваренная соль, галенит) и октаэдра (алмаз, флюорит) встречаются часто, то форму тетраэдра найти немного труднее – например, сульфат натрия и сурьмы. В алмазе атомы углерода образуют структуру тетраэдра. Форму тетраэдра также имеют молекулы метана (CH4) и аммиака (NH3). А форма икосаэдра получается при соединении 12 атомов бора друг с другом – на этом кластере, по сути, основаны элементарные ячейки трёх основных полиморфных форм бора [10], встречается он и в неупорядоченной (аморфной) фазе бора.
Рис. 9. Двойной кристалл пирита (имеет форму додекаэдра с пятиугольными гранями, но не правильного, так как не все его углы равны друг другу).
Кристалл пирит (известный также как «камень, высекающий огонь» и «золото дураков») иногда имеет форму додекаэдра с одинаковыми пятиугольными гранями [11], но эти грани имеют разные углы: 121.6°, 106.6° и 102.6°. Соответствующую фигуру назвали пиритододекаэдром (и пиритоэдром).
Тридцать лет назад (в 1994 году) были открыты квазикристаллы гольмия-магния-цинка (Ho-Mg-Zn), которые имеют форму правильного додекаэдра [12]. Квазикристалл – вещество с упорядоченной, но не периодической структурой. В отличие от классических кристаллов они могут обладать пятикратной вращательной симметрией, которая требуется для формирования додекаэдра и икосаэдра.
Рис. 10. Квазикристалл гольмия-магния-цинка (Ho-Mg-Zn), имеющий форму правильного додекаэдра.
Недавние расчёты датского учёного Мартина Андерсона показали, что форма додекаэдров является наиболее распространённой формой кластеров воды при температуре до 235K (–38°C, т. е. переохлаждённая вода и лёд) и давлениях менее 150 МПа [13]. Кластеры такой формы встречаются и при комнатной температуре, но намного реже по сравнению с кластерами в форме тетраэдра и шестиугольного тора. Поэтому, вероятно, додекаэдры прямо сейчас присутствуют рядом с вами или даже внутри вас!
Рис. 11. Кластер из молекул воды в форме додекаэдра (изображение из статьи Андерсона).
Удивительно, но учёные обнаружили даже живых существ, имеющих форму правильного додекаэдра. Это морские одноклеточные гаптофитовые водоросли Braarudosphaera bigelowii [14] (относящиеся к группе кокколитофоров), которые были обнаружены в окаменелостях возрастом 100 миллионов лет. Браарудосфера способна образовывать на поверхности своей клетки известковые пластинки, которые в данном случае обладают почти идеальной симметрией.
Кокколитофоры играют важную роль в круговороте углерода на Земле и частично ответственны за защиту биосферы от резких скачков концентрации углекислого газа в атмосфере. А Браарудосфера ещё и имеет органеллу, которая извлекает необходимый для всего живого азот из атмосферы (ранее считалось, что на это способны только бактерии).
Рис. 12. Одноклеточные водоросли Braarudosphaera bigelowii, имеющие форму додекаэдра.
Гипотезу «Земля – это растущий кристалл» попытались проанализировать советские учёные Н. Гончаров, В. Макаров и В. Морозов. По их мнению, силовое поле этого растущего кристалла обуславливает икосаэдра-додеакаэдрическую структуру Земли [15]. На поверхности Земли проступают проекции икосаэдра и додекаэдра. Магнитные, гравитационные, тектонические и другие аномалии соответствуют вершинам и рёбрам этих фигур. Им соответствуют очаги зарождения и развития цивилизаций, постоянные районы зарождения ураганов и вихревых океанических течений, аномальные зоны Земли типа Бермудского треугольника.
Рис. 13. Икосаэдра-додеакаэдрическая структура Земли.
Среди попыток описать глобальную геометрию Вселенной в 2003 году появилась попытка использовать для этого додекаэдрическое пространство Пуанкаре – пространство с положительной кривизной (как и у сферы), состоящее из правильного додекаэдра, чьи противоположные грани склеены друг с другом (с небольшим поворотом). Такую фигуру мы не можем изобразить на плоскости. Увидеть её мы могли бы лишь глядя из четырёхмерного пространства. Упрощённое представление о ней может дать рис. 15.
В 2008 году астрономы подобрали наилучшую ориентацию неба для додекаэдрической модели Вселенной и подтвердили некоторые её предсказания на базе трёхлетних наблюдений [16]. Но в 2016 году анализ данных орбитальной обсерватории «Планк» показал [17], что форма Вселенной, скорее всего, более тривиальна.
Рис. 14. Пространство с додекаэдрическими сотами.
Додекаэдр и человек
Предметы в форме додекаэдра нашли некоторое практическое применение, а также сыграли роль в изобразительных искусствах.
В искусстве XX века додекаэдры появились в работах Морица Эшера, таких как «Рептилии» (1943) и Гравитация (1952). На картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря» (1955) комната представляет собой полый додекаэдр. А Джерард Кэрис основал всё своё художественное творчество на додекаэдре и пятиугольнике, представив новое направление в искусстве, получившее название пентагонизм [18].
Рис. 15. Картина Сальвадора Дали «Тайная вечеря» (1955).
В разных частях Европы нашли более сотни бронзовых предметов, названных римскими додекаэдрами. Они пустые внутри, имеют круглые отверстия разного диаметра на гранях и отличаются небольшими шариками, присоединёнными к каждой вершине додекаэдра. Существует множество версий их предназначения [19], но исходная остаётся загадкой.
Рис. 16. «Римский додекаэдр».
Додекаэдр используют как игральную кость, для гадания и в современных ролевых играх. Мегаминксом назвали аналог кубика Рубика в форме додекаэдра.
В форме додекаэдра изготавливают всенаправленный источник звука OmniPower Sound Source Type 4292, а также всенаправленную видеокамеру Dodeca 2360.
Рис. 17. Всенаправленный источник звука OmniPower в форме додекаэдра.
В форме додекаэдра изготавливают стеклянные вазы для растений (например, в них часто выращивают суккуленты), светильники, календари (число месяцев равно числу граней), и даже пробовали строить такие жилые дома.
Рис. 18. Стеклянная ваза в форме додекаэдра.
Рис. 19. Светильник в форме додекаэдра.
А в 2023 году воплотилась идея Владимира Негадаева создания уникального оздоровительного аппарата – объёмного био-корректора «Пятый элемент» в форме кристалла-додекаэдра [20], гармонично сочетающего благотворные свойства кедра, температурное воздействие (как в мини-сауне), принципы дендротерапии доктора Селезнёва Г.К., и активизирующего целительные потоки жизненной энергии в человеке благодаря своей особой форме.
Рис. 20. Мини-сауна «Пятый элемент» Владимира Негадаева, объёмный био-корректор в форме кристалла-додекаэдра.
Твой сердечный кристалл – додекаэдр Запускаю я мыслями жаркими. Одевает тебя словно пламенем, Управляю им на расстоянии. Волны тёплые, волны страстные Обнимают потоком яростным. Закручу меркабу светоносную. И твои четыре тетраэдра Во Вращении станут конусами. Мы как сросток кристаллов осями В глубину свою проникая, Изучаем такое пространство, Где тела наши храм сознания Остаются тленом нетронуты. © 2023 Алина Зайко [21]
Список литературы
[1] George Johnston Allman, Greek Geometry from Thales to Euclid. Hodges, Figgis, & Company (1889), p. 206. https://mathcs.holycross.edu/~little/Plutarch/GreekGeometryAllman.pdf
[2] H.S.M. Coxeter, Patrick du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie. The Fifty-Nine Icosahedra. Vol. 6 (1938). University of Toronto Studies (Mathematical Series). p. 4. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-8216-4
[3] Диалоги Платона. Тимей (написан примерно в 360 г. до н.э.). https://ancientrome.ru/antlitr/t.htm?a=1450270000
[4] W.E. Buker, R.B. Eggleton. The Platonic Solids (Solution to problem E2053). American Mathematical Monthly (1969). 76 (2): 192. doi:10.2307/2317282
[5] Диалоги Платона. Федон (написан примерно в 360 г. до н.э.). https://ancientrome.ru/antlitr/t.htm?a=1450190000
[6] Iamblichus’s Life of Pythagoras or Pythagoric life (translated by Thomas Taylor), London: J.M. Watkins (1818). https://www.gutenberg.org/files/63300/63300-h/63300-h.htm
[7] Christian Wildberg, John Philoponus' Criticism of Aristotle's Theory of Aether. Walter de Gruyter (1988). pp. 11–12. ISBN 978-3-11-010446-2. https://doi.org/10.1515/9783110847512
[8] Alan W. Paeth, Exact Dihedral Metric for Common Polyhedra. In Arvo, James (ed.). Graphics Gems II. Academic Press (1991). p. 177. https://doi.org/10.1016/B978-0-08-050754-5.50045-1
[9] Елена Рерих. У порога нового мира. – М.: Международный Центр Рерихов, 2000, стр. 76. https://roerich-lib.ru/e-i-rerikh/elena-rerikh-u-poroga-novogo-mira
[10] E.D. Jemmis, The ubiquitous icosahedral B12 in boron chemistry. Bull. Mater. Sci., Vol. 22, No. 5 (1999), p. 863.https://doi.org/10.1007/BF02745545
[11] М.Е. Успенская, Т.В. Посухова. Минералогия с основами кристаллографии и петрографии. Москва: МГУ (1997). https://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1166351&uri=kristal1.htm
[12] I.R. Fisher; Z. Islam; J. Zarestky; C. Stassis; M.J. Kramer; A.I. Goldman; P.C. Canfield, P.C. Magnetic properties of icosahedral R–Mg–Zn quasicrystals (R=Y, Tb, Dy, Ho and Er). Journal of Alloys and Compounds. 303–304. Elsevier BV (2000): 223–227. https://doi.org/10.1016/S0925-8388(00)00635-6
[13] Martin P. Andersson. The shape of water – How cluster formation provides a unifying explanation of water’s anomalous properties // Journal of Molecular Liquids. Vol. 383 (2023), 122169. https://doi.org/10.1016/j.molliq.2023.122169
[14] K. Hagino, R. Onuma, M. Kawachi, T. Horiguchi. Discovery of an Endosymbiotic Nitrogen-Fixing Cyanobacterium UCYN-A in Braarudosphaera bigelowii (Prymnesiophyceae) // PLoS ONE 8(12): e81749 (2013). https://doi.org/10.1371/journal.pone.0081749
[15] К. Лачугин. Земля – большой кристалл? М.: Захаров, 2005. 224 с. https://www.geokniga.org/books/15843
[16] B. Lew, B. Roukema, Z. Buliński, A. Szaniewska, N. E. Gaudin. A test of the Poincare dodecahedral space topology hypothesis with the WMAP CMB data. Astronomy and Astrophysics. 482 (3): 747–753 (2008). arXiv:0801.0006. https://doi.org/10.1051/0004-6361:20078777
[17] Planck Collaboration, "Planck 2015 results. XVIII. Background geometry & topology", (2015) https://arxiv.org/abs/1502.01593
[18] A. Van den Braembussche. Forms of the Sublime in the Pentagonism of Gerard Caris // GERARD CARIS. Pentagonismus/Pentagonism, Gregor Jansen & Peter Weibel (Hrs./Eds.), (15-20) (2007). https://www.academia.edu/2490922/
[19] А. Матанцев. Тайны римских додекаэдров в разные эпохи. Ridero. ISBN: 978-5-0056-1968-6 (2022) 247 с. https://books.yandex.ru/books/AftxoYjp
[20] Мини-сауна «5 элемент» https://5element-sauna.ru/
[21] Алина Зайко «Твой сердечный кристалл додекаэдр» https://stihi.ru/2023/02/28/2316